Общая формула перевода в системы счисления

Перевод чисел из одной системы счисления
в другую составляет важную часть машинной
арифметики. Рассмотрим основные правила
перевода.

1. Для перевода
двоичного числа в десятичное необходимо
его записать в виде многочлена, состоящего
из произведений цифр числа и соответствующей
степени числа 2,

и вычислить по правилам десятичной
арифметики:

При переводе удобно пользоваться
таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

n
(степень)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

Пример . Число
перевести
в десятичную систему счисления.

2. Для перевода
восьмеричного числа в десятичное
необходимо его записать в виде многочлена,
состоящего из произведений цифр числа
и соответствующей степени числа 8,

и вычислить по правилам десятичной
арифметики:

При переводе удобно пользоваться
таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

n
(степень)

0

1

2

3

4

5

6

1

8

64

512

4096

32768

262144

Пример . Число
перевести
в десятичную систему счисления.

3. Для перевода
шестнадцатеричного числа в десятичное
необходимо его записать в виде многочлена,
состоящего из произведений цифр числа
и соответствующей степени числа 16,

и вычислить по правилам десятичной
арифметики:

При переводе удобно пользоваться
таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

n
(степень)

0

1

2

3

4

5

6

1

16

256

4096

65536

1048576

16777216

Пример . Число
перевести
в десятичную систему счисления.

4. Для перевода
десятичного числа в двоичную
систему
его
необходимо последовательно делить на
2 до тех
пор, пока не останется остаток, меньший
или равный 1. Число в двоичной системе
записывается как последовательность
последнего результата деления и остатков
от деления в обратном порядке
.

Пример. Число
перевести
в двоичную систему счисления.

5. Для перевода
десятичного числа в восьмеричную
систему его необходимо последовательно
делить на
8
до тех пор, пока не останется остаток,
меньший или равный
7.
Число в восьмеричной

системе записывается как
последовательность цифр

последнего результата деления
и остатков от деления в обратном порядке
.

Пример. Число
перевести
в восьмеричную систему счисления.

6. Для перевода
десятичного числа в шестнадцатеричную
систему его необходимо последовательно
делить на
16
до тех пор, пока не останется остаток,
меньший или равный
15.
Число в шестнадцатеричной

системе записывается как
последовательность цифр

последнего результата деления
и остатков от деления в обратном порядке
.

Пример. Число
перевести
в шестнадцатеричную систему счисления.

7. Чтобы
перевести число из двоичной системы в
восьмеричную, его нужно разбить на
триады (тройки цифр), начиная с младшего
разряда, в случае необходимости дополнив
старшую триаду нулями
,
и каждую триаду заменить
соответствующей восьмеричной цифрой

(
табл. 3).

Пример. Число
перевести
в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы
перевести число из двоичной системы в
шестнадцатеричную, его нужно разбить
на тетрады
(четверки
цифр), начиная с младшего разряда, в
случае необходимости дополнив старшую
тетраду нулями
,
и каждую тетраду заменить
соответствующей восьмеричной цифрой

(
табл. 3).

Пример. Число
перевести
в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в
двоичное
необходимо
каждую цифру заменить эквивалентной
ей двоичной триадой
.

Пример. Число
перевести
в двоичную систему счисления.

10. Для перевода
шестнадцатеричного числа в двоичное

необходимо каждую цифру заменить
эквивалентной ей двоичной тетрадой
.

Пример. Число
перевести
в двоичную систему счисления.

11. При переходе
из восьмеричной системы счисления в
шестнадцатеричную и обратно, необходим

промежуточный перевод чисел в
двоичную систему
.

Пример 1. Число
перевести
в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число
перевести
в шестнадцатеричную систему счисления.

3.6.
Контрольные вопросы. Системы
счисления

1. Что называется системой счисления?

2. На какие два типа можно разделить все
системы счисления?

3. Какие системы счисления называются
непозиционными? Почему? Приведите пример
такой системы счисления и записи чисел
в ней?

4. Какие системы счисления применяются
в вычислительной технике: позиционные
или непозиционные? Почему?

5. Какие системы счисления называются
позиционными?

6. Как изображается число в позиционной
системе счисления?

7. Что называется основанием системы
счисления?

8. Что называется разрядом в изображении
числа?

9. Как можно представить целое положительное
число в позиционной системе счисления?

10. Приведите пример позиционной системы
счисления.

11. Опишите правила записи
чисел в десятичной системе счисления:

а) какие символы образуют алфавит
десятичной системы счисления?
б) что
является основанием десятичной системы
счисления?
в) как изменяется вес
символа в записи числа в зависимости
от занимаемой позиции?

12. Какие числа можно использовать в
качестве основания системы счисления?

13. Какие системы счисления
применяются в компьютере для представления
информации?

14. Охарактеризуйте двоичную систему
счисления: алфавит, основание системы
счисления, запись числа.

15. Почему двоичная система счисления
используется в информатике?

16. Дайте характеристику
шестнадцатеричной системе счисления:
алфавит, основание, запись чисел.
Приведите примеры записи чисел.

17. По каким правилам выполняется сложение
двух положительных целых чисел?

18. Каковы правила выполнения арифметических
операций в двоичной системе счисления?

19. Для чего используется перевод чисел
из одной системы счисления в другую?

20. Сформулируйте правила перевода чисел
из системы счисления с основанием р в
десятичную систему счисления и обратного
перевода: из десятичной системы счисления
в систему счисления с основанием S.
Приведите примеры.

21. В каком случае для перевода
чисел из одной системы счисления (СС) в
другую может быть использована схема
Горнера вычисления значения многочлена
в точке? Каковы преимущества ее
использования перед другими методами?
Приведите пример.

22. Как выполнить перевод
чисел из двоичной СС в восьмеричную и
обратный перевод? Из двоичной СС в
шестнадцатеричную и обратно? Приведите
примеры. Почему эти правила так просты?

23. По каким правилам выполняется перевод
из восьмеричной в шестнадцатеричную
СС и наоборот? Приведите примеры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Перевод систем счисления


Перевод систем счисления

В решении определенного класса задач иногда удобно записывать числовые значения в разных системах счисления. Разработан ряд унифицированных правил перевода чисел между системами. О том, как выполняется перевод систем счисления, рассказано в статье.

Что такое перевод систем счисления

Основанием системы счисления является величина, определяющая количество символов для записи числового значения. Например, основанием двоичной системы является число 2, пятеричной, соответственно – 5.

Таблица: основание и алфавит различных систем счисления

Рис. 1. Таблица: основание и алфавит различных систем счисления.

Число 15 в десятичной системе при переводе в пятеричную равно 30, а в восьмеричной будет равно 17. Шестнадцатеричный эквивалент пятнадцати представляет собой букву F. Как так получается?

Рис. 2. Таблица соответствия десятичных и шестнадцатеричных чисел.

Перевод чисел с участием десятичной системы счисления

В преобразовании чисел с участием десятичной системы приняты три строгих правила перевода.

1. Пересчет числового значения из десятичного формата в эквивалент другой системы счисления заключается в делении целой части и полученных частных, на величину основания будущей системы счисления. При этом остатки от деления записываются начиная с последнего.

Например, 15 из десятичной системы в восьмеричную переводится так: 15 / 8 = 1 (в остатке 7). Записываем итог, начиная с конечного и в данном случае единственного частного, и затем остаток. Получим 17.

Еще один пример: десятичное 125 в восьмеричной системе: 125 / 8 = 15 (5). Полученное частное больше, чем основание 8.

Продолжаем делить: 15 / 8 = 1 (7). Ответ записывается с последнего частного, а затем остатки от деления: 175.

Следует запомнить, что запись результата всегда начинает с последнего частного и остатков от деления в обратном порядке.

2. Преобразование части десятичного числа, записанной после запятой, выполняется с помощью обратной процедуры, то есть умножения, вычисляя одно за другим произведения дробных частей на основание будущей системы счисления и записывая последовательно цифры, полученные в целой части. Например, дробная часть числа 0,134 в двоичную систему переводится так (удобнее это делать столбиком):

0,134 * 2 = 0,268 (в целой части 0)

0,268 * 2 = 0,536 (0)

0,536 * 2 = 1,072 (слева от запятой 1)

0,072 * 2 = 0,144 (в целой части 0)

0,144 * 2 = 0,288 (0)

Произведения вычисляют до тех пор, пока не будет обеспечена заданная точность или в остатке не получится ноль.

Ответ: десятичное 0,134 в двоичной системе равно 0,00100.

При умножении следует брать только остатки, не учитывая полученную цифру в целой части.

3. Перевод чисел из разных систем счисления в десятичную удобнее всего представлять с помощью развернутой записи числа, или при использовании формулы полинома, который формируется путем сложения одночленов, возведенных в степень и умноженных на некоторые коэффициенты:

a1 * x^(n-1) + a2 * x^(n-2) + a3 * x^(n-3) + …+an * x^0

Например, 137 = 1 * 10^2 + 3 * 10^1 + 7 * 10^0.

Рассмотрим примеры перевода чисел:

2 →10: 11011 = 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 27

8 →10: 134 = 1 * 8^2 + 3 * 8^1 + 4 * 8^0 = 92

16 → 10: 1AF = 1 * 16^2 + 10 * 16^1 + 15 * 16^0 = 431

Перевод чисел в системах счислении, построенных на бинарном основании

Восьмеричная и шестнадцатеричные системы счисления построены на бинарном базисе. Основанием восьмеричной системы является число 8, то есть 2^3, а основание шестнадцатеричной системы 16 = 2^4. Перевод между этими системами и двоичной системой удобнее всего выполнять с помощью таблицы перевода систем счисления:

Рис. 3. Таблица соответствия чисел в 2-, 8- и 16-й системах счисления.

Каждое восьмеричное число представляется триадой (тремя элементами) двоичных знаков, каждое шестнадцатеричное – двоичной тетрадой (четыре элемента).

Например, 8 → 2: 134 ⇔ 001011100

16 → 2: 8F ⇔ 10001111

2 → 8: 110101 ⇔ 65

2 → 16: 11011000 ⇔ D8

Заключение

Что мы узнали?

Переход между различными системами счисления выполняется по строго определенным правилам. Десятичные числа преобразуются в другие системы путем последовательного деления целой части и умножения дробной, обратный перевод выполняется с помощью полинома. Перевод между 2-, 8- и 16-ми системами выполняется по таблице.

Оценка статьи

А какая ваша оценка?

Цели урока:

  • повторить изученный материал по теме система
    счисления ;
  • научится переводить число из десятичной
    системы в любую другую позиционную систему
    счисления и наоборот;
  • освоить принципы перевода чисел из одной
    системы в другую;
  • развивать логическое мышление.

Ход урока

Вначале урока краткое повторение и проверка
домашнего задания..

Вопросы:

— В каком виде представлена числовая информация
в памяти компьютера?

— Для чего используются системы счисления?

— Какие виды систем счисления вы знаете?
Привести свои примеры.

— Чем отличаются позиционные системы от
непозиционных?.

Цель нашего урока научится переводить число из
десятичной системы в любую другую позиционную
систему счисления и наоборот. Но в начале мы
рассмотрим, как можно

представить любое целое неотрицательное
чисело:

В позиционных системах значение записи целого
числа определяется по следующему правилу: пусть a
na n-1a n-2…a 1a 0
запись числа A, а i – цифры, тогда

A = a n·pn+a n-1·pn-1 +a
n-2·pn-2+…+a 1·p1+ a0·p0 
      (1),

где p — целое число большее 1, которое
называется основанием системы счисления

 Для того, чтобы при заданном p любое
неотрицательное целое число можно было бы
  записать по формуле (1) и притом единственным
образом, числовые значения различных цифр должны
быть различными целыми числами, принадлежащими
отрезку от 0 до p-1.

Пример:

1) Десятичная система

p = 10

цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

число 5735 = 5·103+7·102+3·101+8·100

2) Троичная система

p = 3

цифры: 0,1,2

число 2013 = 2·32+0·31+1·30

Замечание: нижним индексом в записи числа
обозначается основание системы счисления, в
которой записано число. Для десятичной системы
счисления индекс можно не писать.

Представление отрицательных и дробных чисел:

Во всех позиционных системах для записи
отрицательных чисел так же как и в десятичной
системе используется знак ‘–‘.  Для
отделения целой части числа от дробной
используется запятая. Значение записи a na n-1a
n-2…a 1a 0, a -1 a -2…a m-2
a m-1a m числа A определяется по
формуле, являющейся обобщением формулы (1):

A = an·pn+a n-1·p n-1+a n-2·p
n-2+…+a1·p1+a0·p0+a-1·p-1+a
-2
·p-2+…+am-2·p–(m–2)+am–1·p–(m–1)+amp–m    
(2),

Пример:

75,6 = 7·101+5·100+6·10–1

 –2,3145 = –(2·50+3·5–1+1·5–2+4·5–3)

Перевод чисел из произвольной системы
счисления в десятичную:

Следует понимать, что при переводе числа из
одной системы счисления в другую количественное
значение числа не изменяется, а меняется только
форма записи числа, так же как при переводе
названия числа, например, с русского языка на
английский.

Перевод чисел из произвольной системы
счисления в десятичную выполняется
непосредственным вычислением по формуле (1) для
целых и формуле (2) для дробных чисел.

Перевод чисел из десятичной системы
счисления в произвольную.

Перевести число из десятичной системы в
систему с основанием p – значит найти
коэффициенты в формуле (2). Иногда это легко
сделать простым подбором. Например, пусть нужно
перевести число 23,5 в восьмеричную систему.
Нетрудно заметить, что 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·81+7·80+4·8–1
=27,48. Понятно, что не всегда ответ столь очевиден.
В общем случае применяется способ перевода
отдельно  целой и дробной частей числа.  

Для перевода целых чисел применяется следующий
алгоритм (полученный на основании формулы (1)):

1. Найдем частное и остаток от деления числа на p.
Остаток  будет очередной цифрой ai (j=0,1,2 …)
записи числа в новой системе счисления.

2. Если частное равно нулю, то перевод числа
закончен, иначе применяем к частному пункт 1.

Замечание 1. Цифры ai в записи числа нумеруются
справа налево.

Замечание 2. Если p>10, то необходимо ввести
обозначения для цифр с числовыми значениями,
большими или равными 10.

Пример:

Перевести число 165 в семеричную систему
счисления.

165:7 = 23 (остаток 4) => a0 = 4

23:7 = 3 (остаток 2) => a1 = 2

3:7 = 0 (остаток 3) => a2 = 3

Выпишем результат: a2a1a0, т.е.
3247.

Выполнив проверку по формуле (1), убедимся в
правильности перевода:

3247=3·72+2·71+4·70=3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.

Для перевода дробных частей чисел применяется
алгоритм, полученный на основании формулы (2):

1. Умножим дробную часть числа на p.

2. Целая часть результата будет очередной
цифрой am (m = –1,–2, –3 …) записи  числа в новой
системе счисления. Если дробная часть результата
равна нулю, то перевод числа закончен, иначе
применяем к ней пункт 1.

Замечание 1.  Цифры am в записи числа
располагаются слева направо в порядке
возрастания абсолютного значения m.

Замечание 2.  Обычно количество дробных
разрядов в новой записи числа ограничивается
заранее. Это позволяет выполнить приближенный
перевод с заданной точностью. В случае
бесконечных дробей такое ограничение
обеспечивает конечность алгоритма.

Пример 1:

Перевести число 0,625 в двоичную систему
счисления.

 0,625·2 = 1,25 (целая часть 1) => a-1 =1

0,25·2  = 0,5 (целая часть 0) => a-2 = 0

0,5·2 = 1,00 (целая часть 1) => a-3 = 1

Итак, 0,62510 = 0,1012

Выполнив проверку по формуле (2), убедимся в
правильности перевода:

0,1012=1·2-1+0·2-2+1·2-3=1/2+1/8 = 0,5+0,125 =
0,625.

 Пример 2:

Перевести число 0,165 в четверичную систему
счисления, ограничившись четырьмя четверичными
разрядами.

0,165·4 = 0,66 (целая часть 0) => a-1=0

0,66·4  = 2,64 (целая часть 2) => a-2= 2

0,64·4 = 2,56 (целая часть 2) => a-3= 2

0,56·4 = 2,24 (целая часть 2) => a-4= 2

Итак, 0,16510 ” 0,02224

Выполним обратный перевод, чтобы убедиться, что
абсолютная погрешность не превышает 4–4:

0,02224 = 0·4-1+2·4-2+2·4-3+2·4-4=
2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/128 = 21/128 = 0,1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

Перевод чисел из одной произвольной системы в
другую

В этом случае сначала следует выполнить
перевод числа в десятичную систему, а затем из
десятичной в требуемую.

Особым способом выполняется перевод чисел для
систем с кратными основаниями.

Пусть p и q – основания двух систем счисления.
Будем называть эти системы системами счисления с
кратными основаниями, если p = qn или q = pn, где n –
натуральное число. Так, например, системы
счисления с основаниями 2 и 8 являются системами
счисления с кратными основаниями.

Пусть p = qn и требуется перевести число из
системы счисления с основанием q в систему
счисления с основанием p.  Разобьем целую и
дробную части записи числа на группы по n
последовательно записанных цифр влево и вправо
от запятой. Если количество цифр в записи целой
части  числа не кратно n, то надо дописать слева
соответствующее количество нулей. Если
количество цифр в записи дробной части  числа
не кратно n, то нули дописываются справа. Каждая
такая группа цифр числа в старой системе
счисления будет соответствовать одной цифре
числа в новой системе счисления.

Пример:

Переведем 1100001,1112  в четверичную
систему счисления.

Дописав нули и выделив пары цифр, получим
01100001,11102.

Теперь выполним перевод отдельно каждой пары
цифр, пользуясь пунктом Перевод чисел из одной
  произвольной системы в другую.

012=110=14

102=210=24

002=010=04

012=110=14

112=310=34

102=210=24

Итак,  1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.

Пусть теперь требуется выполнить перевод из
системы с большим основанием q, в систему с
меньшим основанием p, т.е. q = pn. В этом случае
одной цифре числа в старой системе счисления
соответствует n цифр числа в новой системе
счисления.

Пример: Выполним проверку предыдущего перевода
числа.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

В шестнадцатеричной системе есть цифры с
числовыми значениями 10,11,12, 13,14,15. Для их
обозначения используют первые шесть  букв
латинского алфавита A, B, C, D, E, F.

Приведем таблицу чисел от 0 до 16, записанных в
системах счисления с основаниями 10, 2, 8 и 16.

Число в десятичной системе счисления  0   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
В восьмеричной  0  1  2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20
В двоичной  0  1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
В шестнадцатеричной  0  1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

 Для записи шестнадцатеричных цифр можно
использовать также строчные латинские буквы a-f.

Пример: Переведем число 110101001010101010100,112 в
шестнадцатеричную систему счисления.

Воспользуемся кратностью оснований систем
счисления (16=24). Сгруппируем цифры по
четыре, дописав, слева и справа  нужное
количество нулей

000110101001010101010100,11002

и, сверяясь с  таблицей, получим: 1A9554,C16

Вывод:

В какой системе счисления лучше записывать
числа – это вопрос удобства и традиций. С
технической точки зрения, в ЭВМ удобно
использовать двоичную систему, так как в ней для
записи числа используются только  две цифры 0 и
1, которые можно представить двумя легко
различимыми состояниями “нет сигнала ” и “есть
сигнал”.

А человеку, напротив, неудобно иметь дело с
двоичными записями чисел из-за того, что они
более длинные, чем десятичные и в них много
повторяющихся цифр. Поэтому, при необходимости
работать с машинными представлениями чисел
используют восьмеричную или шестнадцатеричную
системы счисления. Основания этих систем – целые
степени двойки, и поэтому числа легко
переводятся из этих систем в двоичную и обратно.

Записываем задание на дом:

а) Запишите дату рождения всех членов вашей
семьи в различных системах счисления.

б) Переведите числа из двоичной системы в
восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем
проверьте результаты, выполнив обратные
переводы:

а) 1001111110111,0112 ;

б) 1110101011,10111012

Видеоурок:
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую. 

Перевод целого десятичного числа в систему счисления с основанием q

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не
получится частное, равное нулю;

2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие алфавиту новой  системы
счисления;

3)  составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Пример №1:

Ответ: 1011002

Пример №3:

Ответ: АС16

Перевод целого десятичного числа в двоичную систему счисления

Для перевода числа Х (X≤10000) в двоичную систему счисления можно воспользоваться таблицей степеней двойки.

Пример №5

52910 = Х2

Решение:

Представим число в виде суммы степеней двойки, для этого:

 возьмем максимально возможное значение, не превышающее исходное число (512 < 529);

 
  
найдем разность между исходным числом и этим значением
(17);

 
  
выпишем степень двойки, не превышающее эту разность и т. д.

52910 = 512 + 17 = 512 + 16 + 1 = 29 +24 + 20 =
10000100012

Перевод десятичной дроби в систему счисления с основанием q

Для перевода конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием q
следует:

1) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы
счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа;

2) полученные целые части (цифры числа) привести в соответствие алфавиту новой системы счисления;

3) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого
произведения.

Пример №6

0,37510 = Х2

Решение:

Перевод чисел из системы счисления с основанием р в систему счисления с основанием q

При необходимости перевод целого числа А из системы счисления с основанием p в
систему счисления с основанием q можно свести к хорошо знакомым действиям в десятичной системе счисления: перевести исходное число в десятичную систему счисления, после чего полученное
десятичное число представить в требуемой системе счисления.

Быстрый перевод чисел в компьютерных системах счисления

Способ «быстрого» перевода основан на том, что каждой цифре числа в системе счисления,
основание которой q кратно степени двойки, соответствует число, состоящее из n (q=2n) цифр в двоичной системе счисления. Замена восьмеричных цифр двоичными
тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетрадами) позволяет осуществлять быстрый перевод.

1) данное двоичное число надо разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;

2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить слева нулями до
нужного числа разрядов;

3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой системы
счисления с основанием q = 2n.

Перевод целых чисел между двоичной и восьмеричной системами счисления

Таблица соответствия

Пример №7

11001012 = Х8 = 1458

Группируем триады справа налево, неполные добавляем нулями.

Пример №8

3028 = Х2 = 110000102

Восьмеричные цифры заменяем на триады, лишние нули вначале не пишем.


Перевод целых чисел между двоичной и 16-ной системами счисления

Таблица соответствия

Пример №9

11011012 = Х16 = 6D16

Группируем тетрады справа налево, неполные добавляем нулями.

Пример №10

5А316 = Х2 = 101101000112

Шестнадцатеричные цифры заменяем на тетрады, лишние нули вначале не пишем.

Перевод дробной части между двоичной и восьмеричной системами

Чтобы записать правильную двоичную дробь в системе счисления с основанием q =
2n
, достаточно:

1.   
двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой; если в последней
правой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;

2.   
рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей
цифрой.

Пример №11

0,111012 = Х8 = 0,728

Группируем триады, неполные добавляем нулями.

Пример №12

0,1328 = Х2 = 0,0010110102

Восьмеричные цифры заменяем на триады, нули в конце не пишем.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Поскольку одно и то же число может быть записано в различных системах счисления (например, ), то встает вопрос о переводе представления числа из одной системы в другую. Правила перевода для целых и дробных чисел отличаются.

Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную можно воспользоваться формулой (1).

Пример. Перевести в десятичную систему счисления числа

Решение:

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

1. Делить заданное число на новое основание, записанное в виде числа со старым основанием до получения остатка.

2. Полученное частное следует вновь делить на новое основание, и этот процесс надо повторять до тех пор, пока частное не станет меньше делителя.

Рекомендуемые материалы

3. Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке обратном полученному при делении.

Пример. Перевести число  в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.

Решение:

                     

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Умножить заданное число на новое основание, записанное в виде числа со старым основанием. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а оставшаяся дробная часть принимается за новое множимое. Число умножений определяет разрядность полученного результата.

Пример. Перевести число  в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.

Решение:

             

Пример. Перевести число  в двоичную систему счисления.

Решение: Переведем отдельно целую и дробную части числа в двоичную систему счисления.

          

                      .

Соединяя целую и дробную части, получим

Так как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления связаны друг с другом через степени 2, то преобразования между ними можно выполнять более простым способом.

1. Для перевода из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы счисления в двоичную достаточно двоичным кодом записать шестнадцатеричные (восьмеричные) коды цифр тетрадами (триадами).

2. Обратный перевод из двоичного кода производится в обратном порядке: двоичное число разбивается влево и вправо от запятой на тетрады для последующей записи цифр в шестнадцатеричном представлении и на триады – для записи их значений восьмеричными цифрами.

Информация в лекции «Лекция 13» поможет Вам.

3. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно используется вспомогательный, двоичный код числа.

Пример. Перевести число  в восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.

Решение:

                 

Пример. Перевести число  в двоичную систему счисления.

Решение:

  • Общаться перевод на английский язык
  • Общая физическая подготовка перевод на английский
  • Обходной лист при переводе мвд
  • Общая стоимость перевод на английский
  • Общаться вживую перевод на английский